BTU Cottbus, Institut für Mathematik
Lehrstuhl Angewandte Mathematik
Prof. Dr. M. Fröhner

Analysis IV: Funktionentheorie
(Funktionen einer komplexen Veränderlichen)
- Vorlesungsprogramm -

1. Einführung: Komplexe Zahlen; Historie, Modelle, geometrische Einführung; Operationen und Regeln; RIEMANNsche Zahlenkugel und stereografische Projektion;
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 1 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 1 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 1'
2. Topologische Grundlagen: Konvergenz von Folgen, Stetigkeit und Grenzwerte, Reihen;
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 2 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 2 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 2'
3. Komplexe Differenzierbarkeit: Definition und Grundregeln, Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit , CAUCHY-RIEMANN-Differentialgleichungen, Analytizität (Holomorphie), konforme Abbildungen, elementare Funktionen;
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 3 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 3 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 3'
4. Integralrechnung im Komplexen: Kurven und Kurvenintegrale, CAUCHYscher Hauptsatz, Fundamentalsatz der Algebra;
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 4 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 4 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 4'
5. Cauchysche Integralformel und ihre Folgerungen: Potenzreihenentwicklung, Holomorphie-Kriterien, Satz von MORERA, Sätze von LIOUVILLE und WEIERSTRASS, Maximumprinzip;
6. Laurent-Reihen, isolierte Singularitäten, Residuensatz: Entwicklung von Funktionen in Laurentreihen, isolierte Singularitäten, Satz von CASORATI-WEIERSTRASS, Residuensatz, Argumentprinzip, Satz von ROUCHÉ, Stabilitäts-(ROUTH)-Kriterium;
7. Konforme Abbildungen und deren Anwendungen: MÖBIUS- und JOUKOWSKI-Transformation, harmonische Funktionen und das DIRICHLET-Problem (komplexe Potentiale, Mittelwerteigenschaft, Maximum-Prinzip);
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 7 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 7 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 7'
8. Randwertaufgaben der mathematischen Physik: Zusammenhang zwischen analytischen und harmonischen Funktionen, Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder, ...), Ausblick.
   Maple-Files: Worksheet Kapitel 8 (Maple-9..16),   PDF-Ausgabe Kapitel 8 (Maple),   HTML-Ausgabe des WS 'Kapitel 8'
9. Hilfsfunktionen: Package 'verdi.m' (Es ist zu laden in das aktuelle Maple-Verzeichnis!)
   Maple-Files: Allgemeines (Hilfs-) Package (Maple-9..16)
10. Literatur:
    • AHLFORS, L.V.: Complex Analysis, 3. Auflage, McGraw-Hill 1979
    • FREITAG, E., BUSAM, R.: Funktionentheorie, 2. Auflage, Springer-V. 1995
    • HENRICI, P.: Applied and Computational Complex Analysis, Wiley 1986
    • JÄHNICH, K.: Funktionentheorie, Springer, Berlin 1999
    • MATHEWS, J.H., HOWELL, R.W.: Complex Analysis for Mathematics & Engineering, Lones and Bartlett Publ., Maryland 2001
    • RÜHS, F.: Funktionentheorie, 4. Auflage, DVW Berlin 1983
    • LAWRENTJEW, M.L., SCHABAT, B.V.: Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen, DVW Berlin 1972

Übungen:   PD Dr. G. Windisch

Hier finden Sie die Übungsaufgaben zur Vorlesung und (zeitversetzt) auch die Lösungen.