BTU Cottbus, Institut für Mathematik
Lehrstuhl Angewandte Mathematik
Prof. Dr. M. Fröhner

Analysis IV: Funktionentheorie
(Funktionen einer komplexen Veränderlichen)
- Vorlesungsprogramm -

1. Einführung: Komplexe Zahlen; Historie, Modelle, geometrische Einführung; Operationen und Regeln; RIEMANNsche Zahlenkugel und stereografische Projektion;
2. Topologische Grundlagen: Konvergenz von Folgen, Stetigkeit und Grenzwerte, Reihen;
3. Komplexe Differenzierbarkeit: Definition und Grundregeln, Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit , CAUCHY-RIEMANN-Differentialgleichungen, Analytizität (Holomorphie), konforme Abbildungen, elementare Funktionen;
4. Integralrechnung im Komplexen: Kurven und Kurvenintegrale, CAUCHYscher Hauptsatz, Fundamentalsatz der Algebra;
5. Cauchysche Integralformel und ihre Folgerungen: Potenzreihenentwicklung, Holomorphie-Kriterien, Satz von MORERA, Sätze von LIOUVILLE und WEIERSTRASS, Maximumprinzip;
6. Laurent-Reihen, isolierte Singularitäten, Residuensatz: Entwicklung von Funktionen in Laurentreihen, isolierte Singularitäten, Satz von CASORATI-WEIERSTRASS, Residuensatz, Argumentprinzip, Satz von ROUCHÉ, Stabilitäts-(ROUTH)-Kriterium;
7. Konforme Abbildungen und deren Anwendungen: MÖBIUS- und JOUKOWSKI-Transformation, harmonische Funktionen und das DIRICHLET-Problem (komplexe Potentiale, Mittelwerteigenschaft, Maximum-Prinzip);
8. Randwertaufgaben der mathematischen Physik: Zusammenhang zwischen analytischen und harmonischen Funktionen, Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder, ...), Ausblick.