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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Abbildungen

Abbildungen sollten Sie im ersten Semester schon behandelt haben; hier nur eine kurze Wiederholung:

Eine Relation f A × B ist eine Abbildung f: A B von A in B, falls es zu jedem a A genau ein b B mit (a,b) f gibt. Wir schreiben dann b = f(a). In der Analysis haben wir oft mit partiellen Abbildungen f: A B zu tun --- Relationen, bei denen es zu jedem a A höchstens ein b B mit (a,b) f. Die Menge der a A für die es so ein f(a) gibt, wird der Definitionsbereich genannt.

Eine Abbildung f: A B ist
  • injektiv falls es zu jedem b B höchstens eine a A mit (a,b) f (d.h. f(a)=b) gibt, d.h. falls aus f(a1) = f(a2) stets a1 = a2 folgt,
  • surjektiv falls es zu jedem b B mindestens eine a A mit f(a)=b gibt,
  • bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Definition: Für jede Abbildung f: A B und Teilmengen A A,B B definieren wir
f(A) = {f(a)| a A}
f-1 (B) = {a A| f(a) B}
Für jede Abbildung f: A B ist
  1. f-1 (f(A)) A,
  2. f(f-1 (B)) B.
  3. f(A1 A2) f(A1) f(A2),
  4. f(A1 A2) = f(A1) f(A2),
  5. f-1(B1 B2) = f- 1(B1) f -1(B2),
  6. f-1(B1 B2) = f-1 (B1) f -1(B2),

Haben wir zwei Abbildungen f: A B und g: C D, so kann man die Komposition g f: A D mit (gf)(x) = g(f(x)) bilden falls f(A) C ist.
Unter obigen Voraussetzungen ist g f injektiv, falls f und g beide injektiv sind. Falls g surjektiv ist und f(A)=C ist (also insbesondere falls f und g surjektiv sind und B=C ist) ist g f surjektiv.
Umgekehrt folgt aus der Injektivität von g f die Injektivität von f, und aus der Surjektivität von g f die Surjektivität von g.

Falls f: A B bijektiv ist, gibt es eine Abbildung f-1: B A die mit der Eigenschaft f(f-1(b)) = b und f-1(f(a))=a für alle a A und alle b B. Diese Abbildung wird die Umkehrabbildung von f genannt.


Erich Prisner
File partially translated from TEX by T TH, version 2.53.
erstellt im Februar 2000.