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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Fixpunktsätze in geordneten Mengen

Eine geordnete Mengen (M,£) hat die Fixpunkteigenschaft, falls jeder Homomorphismus f: M ® M einen Fixpunkt, d.h. ein x Î M mit f(x)=x, hat.

Die Frage, welche geordneten Mengen diese Fixpunkteigenschaft besitzen ist schwierig (NP-vollständig, Duffus/Goddard), aber für gewisse Klassen geordneter Mengen kann die Eigenschaft nachgewiesen werden:

[Abian/Brown 1961] Die geordnete Menge (X, £ ) habe die Eigenschaft, daß jede nichtleere wohlgeordnete Kette ein Supremum hat. Es gebe ein x Î X mit x £ f(x).
Dann hat (X, £ ) die Fixpunkteigenschaft.

Aus obigem Fixpunktsatz folgt, da in vollständigen Verbänden stets 0 £ f(0) gilt,

Fixpunktsatz von Knaster/Tarski Jeder vollständige Verband (V, £ ) hat die Fixpunkteigenschaft.
direkter Beweis

Übungsaufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Knaster/Tarski Banach's Decomposition Theorem: Zu je zwei Mengen A und B und je zwei Abbildungen f: A ® B, g: B ® A, gibt es eine Partition von A in A1 und A2 und eine Partition von B in B1 und B2 so daß f(A1)=B1 und g(B2)=A2 gilt. Hinweis

Die Frage nach der Fixpunkteigenschaft läßt sich auf ein Cliquenproblem in Graphen zurückführen: Zu gegebener geordneter Menge P = (M,£) konstruieren wir einen Graphen G(P) wie folgt:

Hier sehen sie zwei geordnete Mengen und die dazugehörigen G(P)s.

[Schröder] Die endliche geordnete Menge P = (M,£) hat genau dann die Fixpunkteigenschaft, wenn der eben definierte Graph G(P) keinen vollständigen Graphen mit |M| Ecken enthält.

Ein etwas anderer Typ ist folgender Satz. Hier ist f kein Homomorphismus, sondern vergrößert alle Elemente.
[Abian/Brown 1961, Birkhoff, Bourbaki 1950] Die geordnete Menge (X, £ ) habe die Eigenschaft, daß jede nichtleere wohlgeordnete Kette ein Supremum hat. f: X ® X sei eine Selbstabbildung, mit "x Î X: x £ f(x).
Dann hat f einen Fixpunkt. Beweis

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Erich Prisner
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erstellt im Februar 2000.