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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Hüllen

Definition: Sei M eine Menge. Eine Abbildung C: P(M) P(M) heißt Hüllenoperator, falls für alle X, Y M gilt:
  1. X C(X) (Extensitivität),
  2. X Y C(X) C(Y) (Monotonie),
  3. C(C(X)) = C(X) (Idempotenz).

Beispiel 1: Sei V ein Vektorraum. Für A V ist C(A) = < A > die Menge aller Linearkombinationen mit Elementen aus A. C ist ein Hüllenoperator.

Beispiel 2: Die transitive Hülle R* einer Relation definiert einen Hüllenoperator.

Beispiel 3: Für jede Abbildung f: A B setzen wir C(A1) = f(f-1 (f(A1))) für A1 A und C(B1) = f-1(f(f -1(B1))) für B1 B Dann ist C ein Hüllenoperator auf P(A) und C Hüllenoperator auf P(B).

Beispiel 4: Sei (M, ) eine geordnete Menge. Für X M ist LOI(X) = {y M | $x X: y x} das von X erzeugte Ideal. Dann ist LOI ein Hüllenoperator auf P(M).

Beispiel 5: Für Teilmengen X Rn sei
Conv(X) : = {rx1++ rkxk | k N, x1, ,xk X, 0 r1, , rk R, r1++rk = 1 }
die konvexe Hülle von X. Conv ist auch ein Hüllenoperator.


Wozu sind Hüllenoperatoren gut? Nun, die Menge der Hüllen bildet einen Verband:

Ist C ein Hüllenoperator auf einer Menge M, so ist die Menge {C(X)|X M} aller Hüllen bzgl. verbandsgeordnet. Dabei ist C(X) C(Y) = C(X Y) und C(X) C(Y) = C(X) C(Y).
Beweis:
Beachten Sie daß Supremum und Infimum nicht dual gebildet werden---das haben Sie in der lineare Algebra bei den Untervektorrämen schon gesehen.

abgeschlossene Systeme

Eine Teilmenge L P(M) der Potenzmenge einer Menge ist ein abgeschlossenes System, falls M L ist und jeder Durchschnitt i I Ai von Elementen aus L wieder in L liegt.

Für jedes abgeschlossene System L P(M) können wir eine Abbildung C: P(M) P(M) durch C(S) = S A L A definieren. Diese Abbildung ist dann ein Hüllenoperator.
Umgekehrt ist für jeden Hüllenoperator C: P(M) P(M) die Bildmenge ein abgeschlossenes System.

Abgeschlossene Systeme "sind" gerade Hüllenoperatoren:


Hier folgt die Darstellung weitgehend Ihringer, Seite 187.
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Erich Prisner
File partially translated from TEX by T TH, version 2.53.
erstellt im Februar 2000.