Logo

DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Rekursionsgleichungen

Inhalt

Bei vielen Anzahlfragen gelten gewisse Rekursionsgleichungen. Es werden drei "Methoden" vorgestellt, wie man sie auflöst, d..h. in geschlossene Form bringt.
  1. Raten der Lösung.
  2. Black-Box Verfahren für gewisse Rekursionsgleichungen, ohne Begründung warum es funktionert, für diejenigen, die das 4-Schritt Verfahren nicht lesen wollen oder können.
  3. Ein 4-Schritte Verfahren, sehr weit anwendbar (obwohl es auch nicht immer funktioniert), und arbeitet mit formalen Potenzreihen Die später in der Analysis benötigte Partialbruchzerlegung ist wesentlicher Bestandteil.

Existenz und Eindeutigkeit

Definition: Für eine Folge (an) ist eine Rekursionsgleichung eine Gleichung an = f(an-1, ,an-k), die für beliebiges n k gilt und in der nur an, an-1, ,an-k, die Variable n, sowie Konstanten vorkommen.
Für jede gegebenen Anfangswerte a0, a1, , ak ist dann der Rest der Folge eindeutig bestimmt.
Beweis durch vollständige Induktion:
........
Beweis mittels kleinstem Verbrecher (Wohlordnung):
Angenommen zwei verschiedene Folgen (an) (a'n) erfüllen die Rekursionsgleichung samt Anfangswerten. Da die Folgen verschieden sind, gibt es eine kleinste natürliche Zahl t mit at a't, und wegen der gleichen Anfangswerte ist t > k. Dann ist aber at = f(at-1, ,at-k) = f(a't-1, ,a't-k) = a't, ein Widerspruch.

Raten

Beispiel 1: an+1 = 3an - 5, a1 = 3. Die Folgenglieder sind 3, 4, 7, 16, 43, 124, 367, ...

an = (3n-1+5)/2.

Beweis durch Vollständige Induktion.
IA: a_1 = (1+5)/2 = 3.
IS: Wir setzen an = (3n- 1+5)/2 für festes n voraus. Dann ist an+1 = 3an -5 = 3(3n-1+5)/2 - 5 = (3n + 15 -10)/2 = (3n + 5)/2.

Diese Formel hätten wir aber auch herleiten können: Setze bn = an -5/2. Dann gilt offenbar die einfachere Rekursionsgleichung bn+1 = an+1 - 5/2 = 3an - 15/2 = 3bn und b1 = 1/2. Hier ist die Auflösung einfach: bn = 3n-1/2, und somit an = (3n-1 -5)/2.

Doch schon bei einfachsten Rekursionsgleichungen lässt sich die geschlossene Form nicht mehr raten:

Beispiel 2: Fn+2 = Fn+1 + Fn, F0 = 0, F1 = 1.

Diese Rekursionsformel bestimmt die sogenannten Fibonaccizahlen.

Binet (1843)
Fn = 1
5
(Fn - (-1)n
Fn
),
wobei F = (1 + 5)/2 1.61803 der sogenannte "goldene Schnitt" ist. Beweis:

Erich Prisner
erstellt im Februar 2000.