Der Fußball seit 1970 |
Satz. Jede Parkettierung der Sphäre mit Sechsecken und Fünfecken benutzt genau 12 Fünfecke.
Die Eulersche Polyederformel stellt keine Bedingung an die Anzahl der Sechsecke. Ganz ohne Sechsecke erhält man einen der fünf Platonischen Körper, das Dodekaeder. Dieses ist aber nicht rund genug für einen Fußball (vgl. Bastelbogen). Um einen möglichst regelmäßigen Körper zu erhalten, stellen wir nun noch die Zusatzbedingung, dass an jedem Knoten ein Fünf- und zwei Sechsecke aneinander liegen. Wir erhalten also:
|F5|=(1)/(5)|V| und |F6|=(1)/(3)|V|.Setzen wir (*) in die Eulersche Polyederformel ein, so erhalten wir |V|-(3)/(2)|V|+(1)/(5)|V|+(1)/(3)|V|=2 oder |V|=60. Dies liefert 12=60/5 Fünfecke und 20=2*60/6 Sechsecke.
Der Fußball seit 1970 |