TopDreireguläre planare GraphenDer Fußball seit 1970

Der Fußball seit 1970

Satz. Jede Parkettierung der Sphäre mit Sechsecken und Fünfecken benutzt genau 12 Fünfecke.

Beweis: Sei F5 die Menge der Fünf- und F6 die Menge der Sechsecke. Jede Kante liegt an genau zwei Flächen, also ist wie im Handshake Lemma 2|E|=SUM_f  in  F_55 +SUM_f  in  F_66 =5|F_5|+6|F_6|=6|F|-12. Hieraus erhalten wir wegen |F|=|F5|+|F6| die Behauptung |F5|=12. qed

Die Eulersche Polyederformel stellt keine Bedingung an die Anzahl der Sechsecke. Ganz ohne Sechsecke erhält man einen der fünf Platonischen Körper, das Dodekaeder. Dieses ist aber nicht rund genug für einen Fußball (vgl. Bastelbogen). Um einen möglichst regelmäßigen Körper zu erhalten, stellen wir nun noch die Zusatzbedingung, dass an jedem Knoten ein Fünf- und zwei Sechsecke aneinander liegen. Wir erhalten also:

  |F5|=(1)/(5)|V| und |F6|=(1)/(3)|V|.
Setzen wir (*) in die Eulersche Polyederformel ein, so erhalten wir |V|-(3)/(2)|V|+(1)/(5)|V|+(1)/(3)|V|=2 oder |V|=60. Dies liefert 12=60/5 Fünfecke und 20=2*60/6 Sechsecke.

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Bastelbogen für ein Dodekaeder
 


hochst@math.tu-cottbus.de

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