7.4 Totale Ableitung (vollständiges Differential)

:   Tangente ist eine lineare Approximation der Funktion y=f(x) in Umgebung des Punktes .

: An die Stelle der Tangente tritt die Tangentialebene.

: Verallgemeinerung des Ebenenbegriffes: Hyperebene,

    (vgl. Kap. Lineare Algebra!)

Gleichung der Tangentialebene im :

Gegeben sei die Funktion , Flächenpunkt . Dann gilt:  

Der Funktionswert z = f(x,y) wird in einer (kleinen) Umgebung hinreichend dicht bei dem entsprechenden Wert der Tangentialebene liegen (zum Vergleich: Tangente):
Sei

Wir setzen

Dann läßt sich die Gleichung (7.12) in der Form

schreiben und es gilt in der Umgebung näherungsweise

dz ist der Höhenzuwachs auf der Tangentialebene, die Änderung des Funktionswertes, wenn man sich vom Punkt um dx bzw. dy entfernt.

Jetzt werden alle Bezeichnungen und Formulierungen auf den Fall ausgedehnt.

Anwendungen:

• Lineare Approximation einer Funktion (in einer Umgebung)
• Fehlerrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler
• Implizite Differentiation, Erweiterung der Kettenregel, Berechnung von Richtungsableitungen
• Bestimmung notwendiger Bedingungen für das Auftreten von Extremwerten
• Erweiterung: TAYLORscher Satz und Entwicklung von Funktionen mehrerer Variabler in TAYLOR-Reihen