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3.2 Ebenen im Raum

Eine Ebene E im Raum ist eindeutig bestimmt durch Dann gilt $\forall X \in E$:

\begin{displaymath}E := \Big\{ X \; \vert \; \vec{0X} = \vec{0P} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v},
\; \lambda, \; \mu \in I\!\!R\Big\}
\end{displaymath}

Schreibweise:   $\vec{0P} = \vec{p}, \; \vec{0P} = \vec{x}$:  \begin{displaymath}\fboxsep4mm
\fbox{$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u} + \mu\vec{v},
\quad \lambda, \mu \in I\!\!R$ }\end{displaymath}

Paramterform der Ebenengleichung

Eine Ebene ist auch durch 3 Punkte eindeutig bestimmt (die nicht auf einer Geraden liegen):
 \begin{displaymath}\fboxsep4mm
\fbox{$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\vec{p}+\l...
...u \big(\vec{r}-\vec{p} \big), \quad
\lambda, \mu \in I\!\!R$ }\end{displaymath}

Dreipunktedarstellung der Ebenengleichung

Weitere Möglichkeit:
Geg. sind ein Punkt
$P \in E$ und ein Vektor, der senkrecht auf E steht, d. h. ein Normalenvektor $\vec{n}$:

\begin{displaymath}\vec{0P} = \vec{p}, \; \vec{0X} = \vec{x}, \quad \vec{x} - \vec{p} \in E,
\quad \vec{n} \perp E \end{displaymath}

Somit gilt:  \begin{displaymath}\fboxsep4mm
\fbox{$ \displaystyle E: \quad \vec{n} \cdot \big( \vec{x} - \vec{p} \big) = 0 $ }\end{displaymath}

Parameterfreie Form der Ebenengleichung

Wählt man
$\vec{n}$ als Einheitsvektor $\vec{n}^0$ so entsteht die sog. HESSEsche Normalform der Geradengleichung.
Ausgeschriebene Form von (3.5):
 \begin{displaymath}n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 - d = 0, \quad d = (\vec{n} \cdot \vec{p})
\end{displaymath}
Hier ist $\vec{n} = \pmatrix{ n_1 \cr n_2 \cr n_3 }$ der Normalen- oder Stellungsvektor. Jede Gleichung der Form (3.6) mit $n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 \neq 0$ stellt folgl. eine Ebene im $I\!\!R^3$ dar.



Aufgabe: Umrechnung von Parameterdarstellungen in parameterfreie Formen und umgekehrt:


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Prof.Dr.M.Froehner
1998-12-08