Die Geburtsstunde der Topologie wird im allgemeinen mit der 1735 veröffentlichten Lösung des Königsberger Brückenproblems durch L. EULER in Verbindung gebracht. Der durch Königsberg fließende Fluß Pregel hat zwei Inseln, die durch Brücken verbunden sind. Eine der Inseln besitzt nach jeder Seite eine Brücke zum Festland, so daß eine Straße die Insel überqueren kann, die andere hat zwei Brücken auf jeder Seite des Ufers, eine weitere Brücke verbindet beide Inseln. Insgesamt gibt es also 7 Brücken. Die Frage ist, ob ein Bewohner von Königsberg alle 7 Brücken in einem einzigen Spaziergang überqueren kann, ohne über eine Brücke zweimal laufen zu müssen.
EULER zeigte, daß dies nicht geht und löste das Problem viel allgemeiner. Seine Methode basiert auf der Beobachtung, daß es nur darauf ankommt, auf welche Weise sie zusammenhängen, nicht auf ihre präzise Lage, Größe o. ä.
Es gibt übrigens auch ein paar frühere topologische Entdeckungen, also praktisch eine prähistorische Topologie. 1639 zeigt Renè DESCARTES, daß für ein (beliebiges) Polyeder mit V Ecken, E Kanten, F Flächen (die gebräuchlichen Symbole haben in den englischen Wortstämmen V - 'vertices', E - 'edges', F - 'faces' ihren Ursprung) immer der Zusammenhang V-E+F=2 gilt. EULER veröffentlichte dazu 1751 einen Beweis, CAUCHY 1811 einen anderen. GAUSS weist mehrfach darauf hin, wie wichtig die Untersuchung der Grundeigenschaften geometrischer Gebilde und Figuren ist, aber er fügt nur wenige Beobachtungen über Knoten und Verbindungen seinen Arbeiten bei.
Ein Schüler von GAUSS, nämlich A. MöBIUS, war einer der ersten, der eine topologische Transformation als eineindeutige Beziehung zwischen Figuren definierte, so daß bei Transformation benachbarte Punkte der einen Figur wieder in benachbarte Punkte der anderen Figur übergingen. Mathematisch ausgedrückt heißt das, daß Umgebungsbeziehungen erhalten bleiben sollen. Er studierte Flächen und ihre Beziehungen zu Polyedern, die später zentrales Thema dieses Gegenstandes wurden. 1858 entdeckte A. MöBIUS (gemeinsam mit J. LISTING) die Möglichkeit sogenannter einseitiger (d. h. nicht-orientierbarer) Flächen. Die bekannteste ist das sogenannte Möbiussche Band. Versucht man dieses mit 2 verschiedenen Farben einzufärben, wird es infolge der Verdrehung eine Mischung beider Farben geben. Schneidet man es längs seiner Mittellinie auf, bleibt es ein einziges zusammenhängendes Stück.
Topologie ist übrigens auch der natürliche Ursprung des 4-Farben-Satzes, weil die präzise Gestalt der Länder auf einer Landkarte unwichtig ist, interessant ist nur ihr Zusammenhang der Ränder (d.h. die Landesgrenzen).