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3.1 Galerie mathematischer Monster

Mathematiker haben stets nach neuen geometrischen Formen gesucht: nach höchst ''irregulären'' Kurven und Flächen. Es sind ''pathologische'' Objekte, deren Zweck es ist, die Grenzen der klassischen Analysis aufzuzeigen. Sie sind Beispiele dafür, daß mathematische Gemeinheiten praktisch unbegrenzt sind:

Zum Beispiel wurde im 18. Jahrhundert und frühen 19. Jahrhundert vorausgesetzt, daß eine stetige Funktion eine wohldefinierte Tangente besitzt (d.h. differenzierbar ist in fast allen Punkten.) In einer Vorlesung an der Berliner Akademie der Wissenschaften (1872) zeigte K. WEIERSTRASS, daß dies unwahr ist, indem er eine Klasse von Funktionen beschrieb, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Der Graph dieser Weierstraß-Funktion hat keine Sprünge, ist aber so irregulär, daß in keinem Punkt eine Tangente existiert. Es gibt übrigens noch andere stetige, aber nicht differenzierbare Funktionen; eine davon heißt ''Pudding- Funktion'' (engl.: blancmange function), ihr Graph hat mehrfache Peaks.

Ein klassischer pathologischer Fall ist die sogenannte Cantor-Menge, die aus einem Intervall entsteht, wenn man das meiste davon herausschneidet. Man streiche zunächst das mittlere Drittel, es bleiben zwei kleinere Teile bezüglich des Ausgangsintervalles; mit jedem Teil verfahre man so weiter ... Die Gesamtlänge der gestrichenen Teilintervalle ist gleich der Länge des ursprünglichen Intervalls, gleichzeitig bleibt eine Menge überabzählbar vieler Punkte übrig.

Die 1883 von CANTOR benutzte Menge war 1875 bereits dem Engländer H. SMITH bekannt. 1890 konstruierte PEANO eine Kurve, die jeden Punkt eines Einheitsquadrates durchläuft (eine Kurve wird zur Fläche (!)). Dies zerstörte die bis dahin übliche Definition der Dimension als eine Menge, die durch die Anzahl der Variablen, die man zu ihrer Beschreibung braucht, bestimmt wird.

Die Peano-Kurve gestattet es uns, die Punkte im 2D-Quadrat durch eine einzige Variable zu definieren. Die Frage ist:

''Wie weit muß man längs der Kurve wandern, um den beliebig gewählten Punkt erreichen zu können?''
1906 fand H. v. KOCH eine Kurve unendlicher Länge, die ein endliches Gebiet (Flächenstück) einschließt: die Kochsche Schneeflocke. Sie entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck, wobei auf jeder Dreieckseite jeweils kleinere Dreiecke errichtet werden. Ähnlich der Weierstraßschen Kurve ist die Schneeflocke überall stetig, besitzt aber nirgends eine Tangente. Allerdings ist sie kein Graph einer Funktion.

Die meisten Mathematiker dieser Periode akzeptierten, daß diese seltsamen Mengen zeigen, wo die Grenzen der klassischen Analysis liegen. Sie waren aber perfekt vorbereitet, mit und innerhalb dieser Grenzen zu operieren, und ein paar sahen darin eine Begründung, ebenfalls solche pathologischen Fälle zu studieren. Das waren künstliche Objekte ohne Bezug zu ihrer Bedeutung in Wissenschaft oder Mathematik. Der bekannte französische Mathematiker POINCAR´E nannte sie ''Galerie der Monster''. HERMITE schrieb von ''...abwenden in Furcht und Schrecken von diesem beklagenswerten Erscheinen von Funktionen ohne Ableitungen ...'' und er riet H. LEBESGUE ab, eine Arbeit über nichtdifferenzierbare Flächen zu veröffentlichen. Aber LEBESGUE führte diese enorm wichtige Methode der Integration trotzdem ein, sie erhielt seinen Namen, es war - wie wir heute wissen - keine intellektuelle Spinnerei (die Engländer sagen: no intellectual lightweight), sondern eine höchst nützliche Methode für zahlreiche angewandte Probleme.

LEBESGUE schrieb später als Reaktion auf Hermites Brief:

''Er muß gedacht haben, daß jene, die solch höchst langweilige Studien treiben, ihre Zeit verschwenden, statt nützliche Forschung zu betreiben.''
Und er sagte auch:
''Zu vielen Mathematikern werde auch ich als Mann der Funktionen ohne Ableitungen hinzukommen. Und die Angst und den Schrecken, den Hermite erfaßte, wurde durch fast jeden gefühlt, wenn ich an mathematischen Diskussionen teilnahm, wo Analytiker äußerten: Das kann nicht unser Interesse sein, wir diskutieren Funktionen mit Ableitungen''.
Lebesgue Erfahrung zeigte, daß wir vorsichtig unterscheiden müssen zwischen mathematischen Hauptströmungen und denjenigen, die entweder stark konventionell oder aber modebedingt sind.

Um fair zu sein: Es ist klar, daß das übermäßige Studium solcher Gebiete, wenn es denn ohne klares Ziel und nur zum Selbstzweck erfolgt, eine nutzlose Übung darstellt. Aber im Nachherein beobachten wir dies auch in der Mathematik, die sich mit der Struktur von Fraktalen herumzuschlagen beginnt.


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Prof.Dr.M.Froehner
Fri Apr 4 15:14:00 MDT 1997