Es gibt viele verschiedene Wege, die Dimension eines Raumes zu definieren. Wenn der Raum eine glatte Mannigfaltigkeit (das mehrdimensionale Analogon einer Fläche) ist, dann ist die Dimension die Anzahl von Variablen in einem glatten Koordinatensystem. Die Forderung nach Glattheit schließt die Peano-Kurve zwar aus, schränkt aber den Bereich des Raumes ein, auf den die Definition angewendet wird. Zum Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel zweidimensional, weil die zwei Variablen Länge und Breite das Koordinatensystem bestimmen. Offensichtlich mußß die Dimension in diesem Sinne eine positive ganze Zahl sein. Ingenieure erkennen dies übrigens sofort als Zahl der Freiheitsgrade.
Der Mathematiker POINCAR`E verallgemeinerte diese Definition auf beliebige topologische Räume durch die Festlegungen, daß
Das ist eine sogenannte induktive Definition: es wird der nulldimensionale Raum in Termen des (-1)-dimensionalen Raumes vorgenommen, dann der 1-dimensionale Raum durch den 0-dimensionalen usw. Wir wollen dieses Resultat die topologische Dimension nennen. Entsprechend seiner Natur ist es eine topologische Invariante, sie mußß wiederum eine ganze Zahl sein.
In der Theorie der Fraktale ist etwas mehr zu fordern als in der Topologie. Die Kochsche Schneeflocke ist topologisch einem Kreis äquivalent. Das drückt aus, daß die metrische Struktur - hier ist der Begriff des Abstands wichtig - berücksichtigt werden muß. Man muß eine Definition der Dimension suchen, die diejenige für Mannigfaltigkeiten übersteigt und erweitert, die metrische, nicht nur topologische Eigenschaften reflektiert.