Beispiel 1 Man berechne ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}−1}{x^{4}+5x^{2}+4}dx.

• für den Nenner berechnen wir

x^{4} + 5x^{2} + 4 = (x^{2} + 1)(x^{2} + 4)
= (x − i)(x + i)(x − 2i)(x + 2i)

• damit ergibt sich die Partialbruchzerlegung der Form

\frac{x^{2} − 1}{x^{4} + 5x^{2} + 4} = \frac{A}{x − i} + \frac{B}{x + i} + \frac{C}{x − 2i} + \frac{D}{x + 2i}

• man erhält die Gleichung

x^{2} − 1 = A(x^{3} + ix^{2} + 4x + 4i) + B(x^{3} − ix^{2} + 4x − 4i)

+C(x^{3} − 2ix^{2} + x − 2i) + D(x^{3} + 2ix^{2} + x + 2i)

• daraus ergibt sich das Gleichungssystem

A + B + C + D = 0
A − B − 2C + 2D = \frac{1}{i} = −i
4A + 4B + C + D = 0
4A − 4B − 2C + 2D = −\frac{1}{i} = i

• Lösung des Gleichungsystems ergibt A = \frac{i}{3}, B = −\frac{i}{3}, C = −\frac{5i}{12} und D = \frac{5i}{12}

• man sieht sofort ∑_{j=1}^{4} w_{j}^{(1)} = A + B + C + D = 0

• für das Integral ergibt sich

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2} − 1}{x^{4} + 5x^{2} + 4}dx = 2πi ∑_{j=1, Im z_{j}>0}^{4} w_{j}^{(1)}
= 2πi(A + C)
= 2πi (\frac{i}{3} − \frac{5i}{12})
= −2π \frac{4 − 5}{12}
= \frac{π}{6}