Wo ist der Fehler?

• betrachte die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} = ln 2

• weiter sei

ln 2 + \frac{ln 2}{2}

=  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{2k}
= lim_{n→∞} ( ∑_{k=1}^{2n} \frac{(−1)^{k+1}}{k} + ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{2k} )
= lim_{n→∞} ( 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + \frac{1}{7} − \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2n − 1} − \frac{1}{2n}
+  0 + \frac{1}{2} + 0 − \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 − \frac{1}{8} + … − 0 + \frac{(−1)^{n+1}}{2n} )
= lim_{n←∞} ( 1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + … + \frac{1}{2n − 1} − (1 − (−1)^{n+1})\frac{1}{2n})
=  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k}

• also folgt \frac{3}{2} ln 2 = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} = ln 2

3 Der Riemannsche Umordnungssatz

Definition 1 Sei eine Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} gegeben und π : ℕ → ℕ eine bijektive

Abbildung mit π(k) = i_{k}. Dann bezeichnet man mit ∑_{k=1}^{∞} a_{i_{k}} eine Umordnung dieser Reihe.

Satz 1 Sei ∑_{k=1}^{∞} a_{k} eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe.

Dann gibt es zu jedem s ∈ ℝ eine Umordnung dieser Reihe mit ∑_{k=1}^{∞} a_{i_{k}} = s.

Beweis.

1. • o.B.d.A sei a_{k} ≠ 0 für alle k ∈ ℕ • setze b_{k} := \frac{1}{2}(|a_{k}| + a_{k}) und c_{k} := \frac{1}{2}(|a_{k}| − a_{k})

• wegen |a_{k}| ≥ a_{k} gilt c_{k} ≥ 0 und wegen |a_{k}| + a_{k} ≥ 0 folgt b_{k} ≥ 0 • a_{k} = b_{k} − c_{k} und |a_{k}| = b_{k} + c_{k} für alle k ∈ ℕ

• nach Voraussetzung konvergiert ∑_{k=1}^{n} a_{k}, notwendige Voraussetzung dafür ist lim_{k→∞} a_{k} = 0

• es folgt lim_{k→∞} |a_{k}| = 0

• b_{k} ist auch eine Nullfolge, denn

lim_{k→∞} b_{k} = lim_{k→∞} \frac{1}{2}(|a_{k}| + a_{k})
= \frac{1}{2}( lim_{k→∞} |a_{k}| + lim_{k→∞} a_{k})
= 0

• analog folgt lim_{k→∞} c_{k} = 0

2. • zeige ∑_{k=1}^{∞} b_{k} = ∞ und ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = ∞

• angenommen ∑_{k=1}^{∞} b_{k} = B ∈ ℝ und ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = C ∈ ℝ, dann folgt

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} |a_{k}| = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}(b_{k} + c_{k})

= lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} b_{k} + lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} c_{k}
= B + C ∈ ℝ,

Widerspruch zu ∑_{k=1}^{n} |a_{k}| = ∞

• angenommen ∑_{k=1}^{∞} b_{k} = ∞ und ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = C ∈ ℝ, dann folgt

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} a_{k} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}(b_{k} − c_{k})

= lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} b_{k} − lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} c_{k}
= ∞,

Widerspruch zu ∑_{k=1}^{n} a_{k} = A ∈ ℝ

• analog führt ∑_{k=1}^{∞} b_{k} = B ∈ ℝ und ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = ∞ zum Widerspruch

3. • sei {p_{k} : k ∈ ℕ} die Teilfolge ohne die Nullen von {b_{k} : k ∈ ℕ}

• analog {q_{k} : k ∈ ℕ} die Teilfolge ohne Nullen von {−c_{k} : k ∈ ℕ}

• es gilt {p_{k} : k ∈ ℕ} ∩ {q_{k} : k ∈ ℕ} = ∅ und {p_{k} : k ∈ ℕ} ∪ {q_{k} : k ∈ ℕ} = {a_{k} : k ∈ ℕ}

• wegen ∑_{k=1}^{∞} b_{k} = ∞ bzw. ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = ∞ folgt ∑_{k=1}^{∞} p_{k} = ∞ bzw. ∑_{k=1}^{∞} q_{k} =

−∞

• es gibt ein minimales n_{1} mit ∑_{k=1}^{n_{1}} p_{k} > s und ein minimales m_{1} mit

∑_{k=1}^{n_{1}} p_{k} + ∑_{k=1}^{m_{1}} q_{k} < s

• es gibt ein minimales n_{2} mit ∑_{k=1}^{n_{1}} p_{k} + ∑_{k=1}^{m_{1}} q_{k} + ∑_{k=n_{1}+1}^{n_{2}} p_{k} > s und ein

minimales m_{2} mit ∑_{k=1}^{n_{1}} p_{k} + ∑_{k=1}^{m_{1}} q_{k} + ∑_{k=n_{1}+1}^{n_{2}} p_{k} + ∑_{k=m_{1}+1}^{m_{2}} q_{k} < s

• Fortsetzung des Verfahrens liefert die Umordnung

∑_{i=0}^{∞} ( ∑_{k=n_{i}+1}^{n_{i+1}} p_{k} + ∑_{k=m_{i}+1}^{m_{i+1}} q_{k})der Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}

• setze n_{0} := 1 und m_{0} := 1 so gilt

0 <  s − ∑_{i=0}^{N} ( ∑_{k=n_{i}+1}^{n_{i+1}} p_{k} + ∑_{k=m_{i}+1}^{m_{i+1}} q_{k})  < −q_{m_{N} +1}
0 < ∑_{i=0}^{N−1} ( ∑_{k=n_{i}+1}^{n_{i+1}} p_{k} + ∑_{k=m_{i}+1}^{m_{i+1}} q_{k}) + ∑_{k=n_{N} +1}^{n_{N+1}} p_{k} − s < p_{m_{N} +1}

• wegen lim_{i→∞} p_{n_{i}} = lim_{i→∞} q_{m_{i}} = 0 konvergiert die Umordnung der Reihe gegen s