6 Die Bogenlänge

Definition 1 Die Funktion f : D → ℂ^{m} mit D := [a, b] heißt Riemannintegrierbar, genau wenn für alle μ ∈ {1, …, m} die Komponentenfunktion f_{μ} : D → ℂ Riemann-integrierbar ist. Wir schreiben

∫_{a}^{b} f(x)dx := (∫_{a}^{b} f_{1}(x)dx, …, ∫_{a}^{b} f_{m}(x)dx) ∈ ℂ^{m}.

Definition 2 Die Funktion f : D → ℝ^{m} mit D := [a, b] und f ∈ C^{0}(D, ℝ^{m}) definiere die Kurve K := {x ∈ ℝ^{m} : x = f(t), t ∈ D}. Sei 𝔷 ∈ Z := {{t_{0}, …, t_{N}} : N ∈ ℕ, t_{0} = a, t_{N} = b, t_{0} < t_{1} < … < t_{N}} eine beliebige

Zerlegung von D, es gilt also D = ⋃_{k=1}^{N}[t_{k−1}, t_{k}]. Die Länge des Polygonzuges

durch f(t_{0}), …, f(t_{N}) ist dann ∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})|. Als Länge der Kurve K

setzen wir

L(K) := sup {∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})| : 𝔷 ∈ Z} .

Falls L(K) < ∞ gilt, nennen wir K eine rektifizerbare Kurve.

Bemerkung 1 1. Falls f ∈ C^{k}(D, ℝ^{m}) gilt, sprechen wir von einer Kurve der Klasse C^{k}.

2. Falls f ∈ C^{k}(D, ℝ^{m}) und f′(t) ≠ 0 für alle t ∈ D gilt, so sprechen wir von einer regulären Kurve der Klasse C^{k}.

Satz 1 Es sei durch f : D → ℝ^{m} eine Kurve K der Klasse C^{1} gegeben. Dann ist K rektifizierbar und es gilt

L(K) := ∫_{a}^{b} |f′(t)|dt = ∫_{a}^{b} (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t))^{2})^{\frac{1}{2}} dt.

Beweis.

• für festes N ∈ ℕ betrachte bel. Zerlegung 𝔷 von D = [a, b]

• nach dem MWS gibt es für k ∈ {1, …, N} ein τ_{kμ} ∈ (t_{k−1}, t_{k}), s.d. folgendes gilt:

f_{μ}(t_{k}) − f_{μ}(t_{k−1}) = f′_{μ}(τ_{kμ})(t_{k} − t_{k−1}) μ = 1, …, N

• damit ergibt sich

(1) ∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})| = ∑_{k=1}^{N} (∑_{μ=1}^{m} (f_{μ}(t_{k}) − f_{μ}(t_{k−1}))^{2})^{\frac{1}{2}}

= ∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(τ_{kμ}))^{2})^{\frac{1}{2}}

• def. Hilfsfkt. Φ : [a, b]^{m} → ℝ mit Φ(x) := ( ∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(x_{μ}))^{2})^{\frac{1}{2}}

• Φ ist gleichmäßig stetig, es git also zu jedem ϵ > 0 ein δ_{1}(ϵ) > 0, s.d. für alle x, y ∈ M mit |x − y| < δ_{1} die Ungleichung |Φ(x) − Φ(y)| < ϵ erfüllt ist

• wähle Zerlegung 𝔷 von [a, b] mit

δ(𝔷) := max{|t_{k} − t_{k−1}| : k ∈ {1, …, N}} < δ_{1}

• dann gilt |Φ(τ_{k}) − Φ(t_{k})| < ϵ

• oder

−ϵ + (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(τ_{kμ}))^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ϵ + (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}}

• mit Gleichung 1

∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) [(−ϵ) + (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}} ]

≤ ∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})|

≤ ∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) [ϵ + (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}} ]

• und wegen ∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) = b − a

−ϵ(b − a) + ∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}}

≤ ∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})|

≤ ϵ(b − a) + ∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1}) (∑_{μ=1}^{m} (f′_{μ}(t_{k}))^{2})^{\frac{1}{2}}

• da |f′(t)| stetig, somit auch Riemann-integrierbar ist, gibt es für alle ϵ > 0 ein δ_{2}(ϵ) mit δ_{2} ∈ (0, δ_{1}] mit

|∑_{k=1}^{N}(t_{k} − t_{k−1})|f′(t_{k})| − ∫_{a}^{b} |f′(t)|dt| < ϵ

für alle Zerlegungen 𝔷 mit δ(𝔷) ≤ δ_{2}

• somit erhalten wir die Ungleichung

−ϵ(b − a) − ϵ + ∫_{a}^{b} |f′(t)|dt

≤ ∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})|

≤ ϵ(b − a) + ϵ + ∫_{a}^{b} |f′(t)|dt

• nun gilt L(K) := sup {∑_{k=1}^{N} |f(t_{k}) − f(t_{k−1})| : δ(𝔷) ≤ δ_{2}}, also L(K) =

∫_{a}^{b} |f′(t)|dt

Beispiel 1 Die Funktion f(x) : [a, b] → ℝ^{3} mit f(x) := (R cos t, R sin t, ht) definiere für R > 0 eine Schraubenkurve. Nun gilt

f′(t) = (− sin t, R sin t, h)

und

|f′(t)| = (R^{2} sin^{2} t + R^{2} cos^{2} t + h^{2})^{\frac{1}{2}}
= (R^{2}(sin^{2} t + cos^{2} t) + h^{2})^{\frac{1}{2}}
= (R^{2} + h^{2})^{\frac{1}{2}} .

Damit berechnet man

L(K) = ∫_{a}^{b}(R^{2} + h^{2})^{\frac{1}{2}} dt
= (b − a)(R^{2} + h^{2})^{\frac{1}{2}}

Beispiel 2 Die Funktion f(x) : [a, b] → ℝ^{2} mit

f(x) := k(3 cos t − cos 3t, 3 sin t − sin 3t)

definiere für k > 0 eine Kurve. Man berechne die Länge der Kurve selber ... (ohne die Lösung aus der VL abzuschreiben, also nicht ins Komplexe gehen)!!!