7 Uneigentliche Integration rationaler Funktionen

Satz 1 Sei R(x) := \frac{∑_{μ=0}^{m} a_{μ}x^{μ}}{∑_{ν=0}^{n} b_{ν}x^{ν}} = \frac{P (x)}{Q(x)} mit Q(x) ≠ 0, a_{μ}, b_{ν} ∈ ℂ, a_{m} ≠ 0, a_{n} ≠ 0

und deg P + 2 ≤ deg Q. Dann gibt es nach Satz 1 aus Kapitel V §4 eine Partialbruchzerlegung der Form

R(z) = ∑_{l_{1}=1}^{k_{1}} \frac{w_{1}^{(l_{1})}}{(z − z_{1})^{l_{1}}} + … + ∑_{l_{p}=1}^{k_{p}} \frac{w_{p}^{(l_{p})}}{(z − z_{p})^{l_{p}}}

mit den paarweise verschiedenen Nullstellen z_{1}, …, z_{p} ∈ ℂ − ℝ mit den Viel-

fachheiten k_{1}, …, k_{p} ∈ ℕ. Dann existiert das Integral I := ∫_{−∞}^{∞} R(x)dx und es

gilt

I = 2πi ∑_{j=1, Im z_{j}=0}^{p} w_{j}^{(1)}  und  ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)} = 0.

Beweis.

1. • z_{j} = α_{j} + iβ_{j} für j = 1, …, n

• berechne für r ∈ (0, ∞) und festes j

lim_{ω→∞} ∫_{−rω}^{ω} \frac{dx}{x − z_{j}} = lim_{ω→∞} [log(x − z_{j})]_{x=−rω}^{ω}
= lim_{ω→∞} [[log |x − z_{j}|]_{x=−rω}^{ω} + i [arg(x − z_{j})]_{x=−rω}^{ω}]
= lim_{ω→∞} log |\frac{ω − z_{j}}{−rω − z_{j}} | + i lim_{ω→∞} [arg(x − z_{j})]_{x=−rω}^{ω}
= lim_{ω→∞} log |\frac{1 − \frac{z_{j}}{ω}}{−r − \frac{z_{j}}{ω}} | + iπ sign β_{j}
= − log r + iπ sign β_{j}

• wegen der beliebigen Wahl von r ∈ (0, ∞) existiert das uneigentliche Integral nicht 2. • für r ∈ (0, ∞), j = 1, …, p und l ∈ ℕ − {1} berechnen wir

lim_{ω→∞} ∫_{−rω}^{ω} \frac{dx}{(x − z_{j})^{l}}

= lim_{ω→∞} \frac{1}{1 − l} [(x − z_{j})^{1−l}]_{−rω}^{ω}
= \frac{1}{1 − l} lim_{ω→∞} [\frac{1}{(w − z_{j})^{l−1}} − \frac{1}{(−1)^{l}(rω + z_{j})^{l−1}} ]
= 0

3. • zeige ∫_{J} |R(x)|dx ≤ M

• betrachte die Hilfsfunktion h(x) := R(x)(1 + x^{2}) = \frac{(1+x^{2})P (x)}{Q(x)}

• wegen 2 + deg P ≤ deg Q existiert lim_{x→±∞} h(x) ∈ ℝ

• folglich ist h(x) für hinreichend große |x| beschränkt, genauer gibt es ein c_{1} > 0 und ein A ∈ ℝ mit

|h(x)| ≤ c_{1} für alle |x| ≥ A

• da h(x) stetig auf [−A, A] ist und Q(x) ≠ 0 gilt, gibt es ein c_{2} > 0 mit

|h(x)| ≤ c_{2} für alle |x| ≤ A

• folglich gilt

h(x) = |R(x)(1 + x^{2})|
= |R(x)|(1 + x^{2})
≤ c_{1} + c_{2}
=: c für alle x ∈ ℝ

• für den Jordanbereich [a, b] ⊂ ℝ gilt

∫_{a}^{b} |R(x)| ≤ c ∫_{a}^{b} \frac{dx}{1 + x^{2}}
= c [arctan x]_{a}^{b}
≤ cπ

• mit Satz 1 § 6 folgt

∫_{−∞}^{∞} |R(x)|dx < ∞

4. • für alle r ∈ (0, ∞) gilt

I = lim_{ω→∞} [ ∫_{−rω}^{ω} R(x)dx]
= lim_{ω→∞} [ ∫_{−rω}^{ω} ∑_{j=1}^{p} \frac{w_{j}^{(1)}}{x − z_{j}} dx]
= ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)} lim_{ω→∞} [ ∫_{−rω}^{ω} \frac{dx}{x − z_{j}} ]
= ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)} [iπ sign β_{j} − log r]
= [iπ ∑_{j=1, Im z_{j}≠0}^{p} w_{j}^{(1)} sign β_{j} − log r ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)}]

• da das uneigentlich Integral I existiert, gilt log r ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)} = 0

• also folgt ∑_{j=1}^{p} w_{j}^{(1)} = 0

• nun haben wir

∑_{j=1, Im z_{j}<0}^{p} w_{j}^{(1)} = − ∑_{j=1, Im z_{j}>0}^{p} w_{j}^{(1)} = 0

• letztendlich gilt also

I = iπ [ ∑_{j=1, Im z_{j}>0}^{p} w_{j}^{(1)} sign β_{j} + ∑_{j=1, Im z_{j}<0}^{p} w_{j}^{(1)} sign β_{j}]

= iπ [ ∑_{j=1, Im z_{j}>0}^{p} w_{j}^{(1)} − ∑_{j=1, Im z_{j}<0}^{p} w_{j}^{(1)}]

= 2πi ∑_{j=1, Im z_{j}>0}^{p} w_{j}^{(1)}

Beispiel 1 Man berechne als Hausaufgabe ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}−1}{x^{4}+5x^{2}+4}dx.