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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Abbildungen

Abbildungen sollten Sie im ersten Semester schon behandelt haben; hier nur eine kurze Wiederholung:

Eine Relation f Í A × B ist eine Abbildung f: A ® B von A in B, falls es zu jedem a Î A genau ein b Î B mit (a,b) Î f gibt. Wir schreiben dann b = f(a). In der Analysis haben wir oft mit partiellen Abbildungen f: A ® B zu tun --- Relationen, bei denen es zu jedem a Î A höchstens ein b Î B mit (a,b) Î f. Die Menge der a Î A für die es so ein f(a) gibt, wird der Definitionsbereich genannt.

Eine Abbildung f: A ® B ist
  • injektiv falls es zu jedem b Î B höchstens eine a Î A mit (a,b) Î f (d.h. f(a)=b) gibt, d.h. falls aus f(a1) = f(a2) stets a1 = a2 folgt,
  • surjektiv falls es zu jedem b Î B mindestens eine a Î A mit f(a)=b gibt,
  • bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Definition: Für jede Abbildung f: A ® B und Teilmengen A¢ Í A,B¢ Í B definieren wir
f(A¢) = {f(a)| a Î A¢}
f-1 (B¢) = {a Î A| f(a) Î B¢}
Für jede Abbildung f: A ® B ist
  1. f-1 (f(A¢)) Ê A¢,
  2. f(f-1 (B¢)) Í B¢.
  3. f(A1 ÇA2) Í f(A1) Çf(A2),
  4. f(A1 ÈA2) = f(A1) Èf(A2),
  5. f-1(B1 ÇB2) = f- 1(B1) Çf -1(B2),
  6. f-1(B1 ÈB2) = f-1 (B1) Èf -1(B2),

Haben wir zwei Abbildungen f: A ® B und g: C ® D, so kann man die Komposition g ° f: A ® D mit (g°f)(x) = g(f(x)) bilden falls f(A) Í C ist.
Unter obigen Voraussetzungen ist g ° f injektiv, falls f und g beide injektiv sind. Falls g surjektiv ist und f(A)=C ist (also insbesondere falls f und g surjektiv sind und B=C ist) ist g ° f surjektiv.
Umgekehrt folgt aus der Injektivität von g ° f die Injektivität von f, und aus der Surjektivität von g ° f die Surjektivität von g.

Falls f: A ® B bijektiv ist, gibt es eine Abbildung f-1: B ® A die mit der Eigenschaft f(f-1(b)) = b und f-1(f(a))=a für alle a Î A und alle b Î B. Diese Abbildung wird die Umkehrabbildung von f genannt.

Erich Prisner
File partially translated from TEX by T TH, version 2.53.
erstellt im Februar 2000.