| Name | Prämissen | Konklusion | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Beim Ableiten dürfen wir jeweils eine der Prämissen, oder eine mit einer dieser Regeln (oder mit Hilfe von bekannten Äquivalenzumformungen) aus den schon bestehenden Zeilen sich ergebende Formel, in eine Zeile schreiben. Die Zeilen geben dann (einige der) Formeln wieder, die sich aus den Prämissen ableiten lassen.
Hier ist ein Beispiel einer Ableitung: Wir leiten ¬ R aus der Menge {P, P ® ¬ Q, ¬ Q ® ¬ R} ab:
| (1) | P ® ¬ Q | (Prämisse) |
| (2) | ¬ Q ® ¬ R | (Prämisse) |
| (3) | P ® ¬ R | (Syllogismus mit (1) und (2)) |
| (4) | P | (Prämisse) |
| (5) | ¬ R | (Modus Ponens mit (3) und (4)) |
Hier ist eine weitere Ableitung derselben Konklusion aus denselben Prämissen:
| (1) | P | (Prämisse) |
| (2) | P ® ¬ Q | (Prämisse) |
| (3) | ¬ Q | (Modus Ponens mit (1) und (2)) |
| (4) | ¬ Q ® ¬ R | (Prämisse) |
| (5) | ¬ R | (Modus Ponens mit (3) und (4)) |
Zuerst formalisieren wir. Wenn wir die sechs primitiven Aussagen
Es ist im Hörsaal Leise,
das Gesagte ist (akkustisch) Verständlich,
Student A Schläft,
der Dozent wird Heiser,
Student A ist Begabt, und
Student A lernt Etwas
mit den roten Symbolen benennen,
haben wir die Prämissen
__________ (1) L ® V
__________ (2) V ® (¬ S Ù ¬ H)
__________ (3) (S Ú E) Ú ¬ B
__________ (4) L Ù B
Wir haben 6 Variable, die Wahrheitstafel hat also 26=64 Zeilen.
Vielleicht geht Ableiten hier schneller.
__________ (5)
L ® (¬ S Ù ¬ H)
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Syllogismus mit (1) und (2),
__________ (6) L
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Ù-Elimination aus (4),
__________ (7) (¬ S Ù ¬ H)
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Modus Ponens mit (5) und (6),
__________ (8) ¬ S
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Ù-Elimination aus (7),
__________ (9) B
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Ù-Elimination aus (4),
__________ (10) (S Ú ¬ B) Ú E
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Kommuta- und Assoziativität aus (3),
__________ (11) ¬ (¬ S Ù B) Ú E
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de Morgan'sche Regeln,
__________ (12) ¬ S Ù B
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Ù-Introduktion mit (8) und (9),
__________ (13) E
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disjunktiver Syllogismus mit (11) und (12).,