Allgemeine Form: (zunächst für bel. Koeffizienten)
Auch hier gilt die Definition 1.2, d.h. q(x) heißt
Störfunktion, die Gleichung heißt homogen, falls
usw.
Auch gilt der allgemeine Satz 1.3 über die Zusammensetzung der
allgemeinen Lösung (1.11).
Die allgemeine Lösung der homogenen DGl. hat folgende Struktur:
wobei die Funktionen linear unabhängige Lösungen von (1.14)
mit q(x) = 0 sind.
Als geeignetes Kriterium zur Untersuchung von Funktionen auf lineare Unabhängigkeit wird die sog. WRONSKIsche Determinante gebildet und ihr Wert für untersucht:
Lösung von (1.14):
Da für die DGl. (1.14) mit beliebigen Koeffizientenfunktionen
i.a. keine analytische Lösung angegeben werden kann,
beschränken wir uns auf den Sonderfall konstanter
Koeffizienten
(und hier aus Gründen der Übersichtlichkeit und Einfachheit
auf DGl. 2. Ordnung). Alle Aussagen gelten sinngemäß für DGl. höherer
Ordnung.
Wir betrachten:
Ansatz: (in (1.18) eins.) t#tex2html_wrap_inline1208# Charakt. Gleichung:
Wurzeln:
Beispiele:
Feder-Masse-System, Elektrischer Schwingkreis, Regelkreis u.a.
Wir betrachten die lineare Schwingungsgleichung mit Anfangsbedingungen (AWA)
Es bezeichnen:
m - Masse ([kg]), c - Federkonstante ([N/m]),
- (geschwindigkeitsprop.) Dämpfungskonstante ([Ns/m]).
Wir wählen: m=1, c=1, ; Als Störfunktionen werden
gewählt.
Die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung liegt nahe bei Eins; auf
eine detaillierte Rechnung wird aus Zeitgründen verzichtet.
Stattdessen werden im homogenen Fall () für Parameterwerte
die grafischen Lösungen (linkes Bild)
angegeben; im rechten Bild werden für Wirkungen schnell und
langsam schwingender Störfunktionen verglichen und die zugehörigen
Lösungen geplottet.