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Lineare DGl. 2. und höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

  Allgemeine Form: (zunächst für bel. Koeffizienten)
 equation254
Auch hier gilt die Definition 1.2, d.h. q(x) heißt Störfunktion, die Gleichung heißt homogen, falls tex2html_wrap_inline1174 usw.
Auch gilt der allgemeine Satz 1.3 über die Zusammensetzung der allgemeinen Lösung (1.11).

Die allgemeine Lösung der homogenen DGl. hat folgende Struktur:
 equation264
wobei die Funktionen tex2html_wrap_inline1178 linear unabhängige Lösungen von (1.14) mit q(x) = 0 sind.
 definition270

Als geeignetes Kriterium zur Untersuchung von Funktionen auf lineare Unabhängigkeit wird die sog. WRONSKIsche Determinante gebildet und ihr Wert für tex2html_wrap_inline1190 untersucht:


 equation280
Es gilt der
theorem289

Lösung von (1.14): Da für die DGl. (1.14) mit beliebigen Koeffizientenfunktionen tex2html_wrap_inline1202 i.a. keine analytische Lösung angegeben werden kann, beschränken wir uns auf den Sonderfall konstanter Koeffizienten (und hier aus Gründen der Übersichtlichkeit und Einfachheit auf DGl. 2. Ordnung). Alle Aussagen gelten sinngemäß für DGl. höherer Ordnung.
Wir betrachten:
 equation295

  1. Homogene DGl.: tex2html_wrap_inline1174
     Ansatz: (in (1.18) eins.) t#tex2html_wrap_inline1208#
    

    Charakt. Gleichung: tex2html_wrap_inline1210

    Wurzeln: tex2html_wrap_inline1212

    tex2html_wrap_inline1214
    tex2html_wrap_inline1216    heißt:   Diskriminante
    1. Fall: tex2html_wrap_inline1218, d.h. tex2html_wrap_inline1220
      tex2html_wrap_inline1222
      tex2html_wrap_inline1224
    2. Fall: tex2html_wrap_inline1226, d.h. tex2html_wrap_inline1228
      tex2html_wrap_inline1230
      tex2html_wrap_inline1232    (reell !!)
    3. Fall: tex2html_wrap_inline1234, d.h. tex2html_wrap_inline1236
      tex2html_wrap_inline1238    (Ansatz !)
      tex2html_wrap_inline1240
  2. Inhomogene DGl.: tex2html_wrap_inline1242
    1. Variation der Konstanten (allg. Weg, Aufwand !!)
    2. Ansatzmethode für praktisch wichtige (häufige) Störfunktionen, wie
      • tex2html_wrap_inline1244,    tex2html_wrap_inline1246 gegeben; (ohne / mit Resonanz)
      • tex2html_wrap_inline1248,    tex2html_wrap_inline1250 gegeben
      • tex2html_wrap_inline1252,    tex2html_wrap_inline1254 gegeben
      • Kombinationen der genannten Fälle
      Man setzt eine artgleiche Funktion mit noch zu bestimmenden Koeffizienten an und führt einen Koeffizientenvergleich aus. Im Resonanzfall (tex2html_wrap_inline1256) sind Modifikationen erforderlich.

Beispiele:
Feder-Masse-System, Elektrischer Schwingkreis, Regelkreis u.a.

Wir betrachten die lineare Schwingungsgleichung mit Anfangsbedingungen (AWA)
displaymath1168
Es bezeichnen:
m - Masse ([kg]), c - Federkonstante ([N/m]), tex2html_wrap_inline1266 - (geschwindigkeitsprop.) Dämpfungskonstante ([Ns/m]).
Wir wählen: m=1, c=1, tex2html_wrap_inline1274; Als Störfunktionen werden
displaymath1276
gewählt.
Die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung liegt nahe bei Eins; auf eine detaillierte Rechnung wird aus Zeitgründen verzichtet. Stattdessen werden im homogenen Fall (tex2html_wrap_inline1278) für Parameterwerte tex2html_wrap_inline1280 die grafischen Lösungen (linkes Bild) angegeben; im rechten Bild werden für tex2html_wrap_inline1274 Wirkungen schnell und langsam schwingender Störfunktionen verglichen und die zugehörigen Lösungen geplottet.

tex2html_wrap1292 tex2html_wrap1292


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Prof.Dr.M.Froehner
Mon Jun 9 09:24:27 MDT 1997