Numerische Mathematik I

Inhalt/Programm der Vorlesung:

• Einführung:
  Beispiele zur Fehlerfortpflanzung ( PS , PDF ), M-Files: instab.m , stab.m
  Ziele und Aufgaben der Numerik ( PS , PDF );
  Computerzahlen ( PS , PDF ), GP-Operationen, Rundungsfehler ( PS , PDF );
  Kondition und numerische Stabilität ( PS , PDF )
• Direkte Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme:
  Gestaffelte Systeme, Gauss-Algorithmus ( PS , PDF ), Beispiel und Programm ( PS , PDF ),
  Cholesky-Verfahren ( PS , PDF ), M-Files: lingls.m .
• Normen von Vektoren und Matrizen, Kondition einer Matrix
  Ausgewählte Vektor- und Matrix-Normen, Konditionszahl ( PS , PDF )
• Zerlegung mit orthogonalen Matrizen
  QR-Transformation, Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, Householder-Transf. ( PS , PDF )
• Matrizen spezieller Struktur
  Hessenberg- und Bandmatrizen; LR-Zerlegung für tridiagonale Matrizen ( PS , PDF )
• Einige Beispiele
  Demonstration der QR-Zerlegung ( PS , PDF )
• Iterative Methoden zur Lösung linearer Gleichungssyteme
  Einführungsbeispiel: Dirichlet-Problem ( PS , PDF ), M-File: blocktridiag.m
• Konvergenz von Einschrittverfahren, Verfahrensklassen
  Gesamtschritt-(Jacobi-)/Einzelschritt-(Gauß-Seidel-) Verfahren ( PS , PDF )
• Fehlerabschätzungen, Relaxationsverfahren
  Maßnahmen zur Konvergenzbeschleunigung ( PS , PDF ), opt. Relaxationsparameter (Herleitung, Beweis)
• Richardson-Iteration, Unterraum-Verfahren, CG-Verfahren
  Richardson-Iteration, Vorkonditionierung, weitere Verallgemeinerungen ( PS , PDF )
  CG-Verfahren (Hestenes/Stiefel), CGNR, CGNE, GMRES für unsymm. Systeme ( PS , PDF )
• Interpolation:
  Einführung, Anwendungsbereiche, Aufgabenstellungen ( PS , PDF )
  Klassische Methoden: Lagrange- und Newton-Interpolation ( PS , PDF )
  Stützstellenwahl, Tschebyscheff-Polynome ( PS , PDF )
  Hermite-Interpolation ( PS , PDF )
  Spline-Interpolation: stückweise polynomiale Interpolation, natürliche und B-Splines ( PS , PDF )
  Bernstein-Polynome und Bezier-Kurven ( PS , PDF )
  Trigonometrische Interpolation und FFT ( PS , PDF )
  
• Approximation:
  Gauss-Approximation, Gram-Schmidt-Algorithmus, Legendre-Polynome
  
• Numerische Quadratur:
  Einführung und Problemstellung, Newton-Cotes-Formeln ( PS , PDF )
  Extrapolation: Romberg-Verfahren ( PS , PDF )
  Gauss-Quadraturformeln, Fehlerkontrolle und Adaption, uneigentliche Integrale ( PS , PDF )
  
• Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme:
  Fixpunkt-Iteration, Newtonverfahren ( PS , PDF )
  

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