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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Ordinalzahlen

Die Idee

Die natürliche Zahlen kommen in zwei Geschmacksrichtungen vor: "one, two, three, ..." bezieht sich auf Anzahlen. "first, second, third, ..." beschreibt dagegen einen Rang. D.h. nach jeder Zahl m kommt ein unmittelbarer Nachfolger m' = m+1. Diese zweite Verwendung der natürlichen Zahlen lässt sich auf die sogenannten Ordinalzahlen verallgemeinern.

Ordinalzahlen sollen Mengen sein. Wie kann man, für eine gegebene Kardinalzahl (Menge) M einen Nachfolger M' definieren? Man könnte natürlich einfach ein weiteres Element in die Menge legen, nur welches Element, wo nehmen wir es her? Es soll ja nicht schon in M liegen! Die natürlichen Zahlen, selbst die reellen Zahlen könnten vielleicht einmal aufgebraucht sein (wenn wir das Nachfolger-Spiel nur genügend lang weiterspielen).
Wie wär's mit M'= M {M}?
Das bedeutet, daß alle Elemente der entstehenden Ordinalzahlen wieder Mengen, sogar Ordinalzahlen, sind. 0,1,2,3,... wären (und sind für die Dauer dieses Kapitels) Mengen, und wir erhalten
1 = 0' = {0}, 2 = 1' = {0,1}, 3 = 2' = {0,1,2}, usw. bzw. eingesetzt
1 = {0}, 2 = {0,{0} }, 3 = {0,{0}, {0,1}}, 4 = {0,{0},{0,1}, {0,1,2}}, ... also
1 = {0}, 2 = {0,{0}}, 3 = {0,{0},{0, {0}}}, 4 = {0,{0},{0, {0}},{0, {0},{0, {0}}}}, ...

Es bleibt eigentlich nur noch die "0" übrig. Sie soll auch eine Menge sein---die einfachste Menge ist natürlich die leere Menge , weshalb wir 0 := setzen.

Ordinalzahlen

Bei obiger Konstruktion ist nicht klar, wie "lange" man das Nachfolger-Spiel betreiben kann oder muss. Die Menge N={0,1,2,...} aller natürlicher Zahlen ist etwa nicht unmittelbarer Nachfolger einer Ordinalzahl, trotzdem soll es eine Ordinalzahl sein.Deshalb wollen wir Ordinalzahlen über den Begriff der transitiven Menge definieren.

Eine Menge X ist transitiv wenn jedes Element von X eine Teilmenge von X ist.
Mit anderen Worten ist X transitiv, wenn stets aus Z Y X folgt Z X. Transitive Mengen haben die merkwürdige Eigenschaft, daß alle ihre Elemente wieder Mengen sind, aber auch die Elemente dieser Teilmengen müssen Teilmengen sein, usw. Machen Sie sich bitte klar, daß deshalb bei der Beschreibung transitiver Mengen nur die Symbole "{", "}", "," und "" vorkommen können. Aber Vorsicht, nicht jede Menge, die sich so schreiben läßt, ist schon transitiv.

Beispiele von transitiven Mengen sind {,{}} oder auch { , {}, {{}}, {{{}},{}} }

Eine Ordinalzahl ist eine transitive Menge, bei der auch jedes Element transitiv ist.

Mit obiger Interpretation 1 = {}, 2 = {,{}}, 3 = {,{}, {,{}}}, ... der natürlichen Zahlen durch transitive Mengen betrachten wir die (transitive) Menge N aller natürlichen Zahlen. Sie ist eine Ordinalzahl. In der Theorie der Ordinalzahlen verwendet man meistens den Buchstaben w statt N, um die Ordinalzahl von der Kardinalzahl zu unterscheiden.

Nun haben wir schon die Ordinalzahlen 0, 1, 2, ... , w. Weitere Ordinalzahlen finden wir wieder durch die Nachfolgerkonstruktion, denn es gilt:

Ist X eine Ordinalzahl, so auch die Menge X' := X {X}.
Beweis: Wir betrachten eine Element A von X'. Ist A Element von X, so ist es wegen der Transitivität von X auch Teilmenge von X; X X' impliziert dann A X'. Da X Teilmenge von X' ist, ist der Fall A = X auch klar. Deshalb ist X' transitiv.
X ist transitiv. Jedes weitere Element von X' ist, als Element von X, ebenfalls transitiv.
Da dies das Analogon für den Nachfolger bei natürlichen Zahlen ist, schreiben wir
X + 1 := X' := X {X}.

Deshalb ist w + 1 = w {w} wieder eine Ordinalzahl. Genauso kann man weitere Ordinalzahlen w+2 := w+1+1, w+3 := w+1+1+1, ... bilden. Man prüft leicht nach, daß die Menge aller bisher konstruierten Ordinalzahlen 2w := {0,1,2,..., w, w+1, w+2, ...} wieder eine Ordinalzahl ist. Man konstruiert weiter und findet 2w+1, 2w+2, ... , mw+k, ... .

Bisher benutzten wir zwei Konstruktionsmethoden: Manche Ordinalzahlen sind Nachfolger von anderen Ordinalzahlen, während andere diese Eigenschaft nicht haben.

Eine Limeszahl ist eine Ordinalzahl, die nicht unmittelbarer Nachfolger einer anderen Ordinalzahl ist.
Z.B: sind w, 2w, 3w, ... alles Limeszahlen.

Vergleich von Ordinalzahlen

Ordinalzahlen haben offensichtlich eine lineare Struktur. Sind sie also linear geordnet? Vorsicht, das macht keinen Sinn, die Menge aller Ordinalzahlen gibt es nicht. Aber wir werden sehen, daß jede Ordinalzahl eine Menge von Ordinalzahlen ist, die sogar wohlgeordnet ist.

Jedes Element einer Ordinalzahl ist wieder eine Ordinalzahl.
Beweis: Sei M Ordinalzahl und A M. Da M Ordinalzahl ist, ist A transitiv. Sei B A. Da M transitiv ist, folgt B M und B ist deshalb auch transitiv.

Wir definieren für eine Menge (von Mengen) M eine Relation "=" durch A = B falls A = B oder A B gilt.

Für jede Ordinalzahl M ist "=" eine Wohlordnung auf M.
Beweis: (1) Transitivität folgt aus Obigem, Reflexivität aus der Definition der Relation. Antisymmetrie ergibt sich aus der Eigenschaft daß eine Menge sich nie selbst enthalten kann ( Dies folgt aus dem sogenannten Fundierungsaxiom der Axiomatischen Mengenlehre, das besagt, daß jede nichtleere Menge M eine Element a enthält, das zu M disjunkt ist. Für jede Menge A können wir, wieder mit Axiomen der Mengenlehre, die Menge {A} bilden. Mit dem Fundierungsaxiom ist A {A} = , also A A. ). Seien also A B M mit A B und B A. Da M Ordinalzahl ist, muß A transitiv sein, also A A, ein Widerspruch.
(2) Die Wohlordnungseigenschaft ist etwas schwieriger zu beweisen.

Ordinalzahlen sind (modulo Isomorphie) gerade die wohlgeordneten Mengen:

Jede wohlgeordnete Menge ist zu (genau einer) Ordinalzahl isomorph.
Beweis durch transfinite Induktion.

Ordinal- und Kardinalzahlen

Die Ordinalzahlen vom Typ mw+k (k,m N) sind alle gleichmächtig wie w, aber alle verschiedene Ordinalzahlen. Während also Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sich im Endlichen entsprechen, sind die Ordinalzahlen im Unendlichen wesentlich feiner als die Kardinalzahlen.


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Erich Prisner
erstellt im Februar 2000. Zuletzt im Mai 2000 geändert.