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DISKRETE MATHEMATIK
Erich Prisner
Sommersemester 2000

Verbandstheorie erster Ordnung

Wir benutzen eine Sprache 1. Stufe um über Verbände (V,,) zu reden. Wir starten also mit einer Sprache mit zwei binären Verknüpfungen. Wir verwenden das Symbol "" statt dem sonst verwendeten "", und das Symbol "" statt dem sonst verwendeten "" weil "" und "" ja als logische Symbole gebraucht werden.

Modelle der Sprache sind etwa auch (N,*,+)....

Dann sind folgendes Terme
x,
y,
x y (d.h. x y),
x y x, oder auch
x y z x y.

Atomare Formeln sind sind nur Gleichungen zwischen Termen.

Beispiele für Aussagen sind die acht Verbandsaxiome:
(A1) " x " y " z x y z = x y z,
(A2) " x " y " z x y z = x y z,
(A3) " x " y x y = y x,
(A4) " x " y x y = y x,
(A5) " x " y x x y = x,
(A6) " x " y x x y = x,
(A7) " x x x = x,
(A8) " x x x = x.

Die Verbandstheorie wird mit den obigen acht Verbandsaxiomen definiert. D.h. die Verbände sind gerade die Modelle der Theorie {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8}.


Um zu sehen, daß Verbände verbandsgeordnete Mengen "sind", müssen wir die Sprache um das Symbol "" (stehend für eine binäre Relation) erweitern. Wir arbeiten also im Folgenden mit Strukturen und Sprachen der Signatur binäre Relation "", binäre Verknüpfung "", binäre Verknüpfung "".

"" ist (M,,)-definierbar (tatsächlich definiert) in jedem Verband, durch x y genau dann wenn x y = y. Also nehmen wir zu obigen acht Verbandsaxiomen noch dieses "Definitionsaxiom" dazu um die Axiomenmenge für Verbände (in dieser Sprache) zu erhalten:
(A9) " x " y ( x y x y = y).

Auf der anderen Seite starten wir mit der Theorie für geordneten Mengen in obiger erweiterter Sprache. Dazu brauchen wir die üblichen drei Axiome:
(B1) " x x x (Reflexivität)
(B2) " x " y (( x y y x) x = y) (Antisymmetrie)
(B3) " x " y " z (( x y y z) x z) (Transitivität).

Nun müssen wir Existenz von Supremum und Infimum beschreiben.
(B4) " y " z $ s (( y s z s) (" x (( y x y x) s x)))
(B5) " y " z $ w (( w y w z) (" x (( x y x z) x w)))

Nun fehlen nur noch die "Definitionsaxiome" für "" und "":
(B6) " y " z (( y y z z y z) (" x (( y x z x) y z x))),
(B7) " y " z (( y z y y z z) (" x (( x y x z) x y z))).

In dieser erweiterten Sprache sind die beiden Theorien {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9} {B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7} äquivalent.


Können wir ein Axiomensystem für vollständige Verbände angeben? Nicht in Sprachen erster Stufe, denn in jeder Formel kommen nur endlich viele Variable vor. ........
Erich Prisner
erstellt im Juni 2000.