3.1 Geraden im Raum

Eine Gerade g im Raum ist eindeutig bestimmt durch

• Punkt $P: \; ( \Leftrightarrow \mbox{~Ortsvektor~} \vec{0P})$ (durch den g verläuft)
• einen Vektor $\vec{u}$ (der für g die Richtung bestimmt)

Dann gilt $\forall X \in g$:

$$g := \Big\{ X \; \vert \; \vec{0X} = \vec{0P} + \lambda \vec{u}, \; \lambda \in I\!\!R\Big\}$$

Schreibweise:   $\vec{0P} = \vec{p}, \; \vec{0P} = \vec{x}$: $$\fboxsep4mm \fbox{$\displaystyle g: \quad \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{u},\quad \lambda \in I\!\!R$ }$$

Paramterform der Geradengleichung

Wird die Richtung $\vec{u}$ durch 2 Punkte $P, \; Q$ bestimmt: $$\fboxsep4mm \fbox{$\displaystyle g: \quad \vec{x}=\vec{p}+\lambda \big(\vec{q}-\vec{p} \big), \quad \lambda \in I\!\!R$ }$$

Zweipunkteform der Geradengleichung

Bemerkung: Eine dritte Möglichkeit ist die Darstellung als Schnittgebilde zweier Ebenen: $g: \; E_1 \cap E_2$ (vgl. Kap. Ebenen)

Lagebeziehungen zweier Geraden:

• Es existiert ein gemeinsamer (Schnitt-)punkt
• Es handelt sich um parallele Geraden
• windschiefe Geraden (weder Schnitt, noch parallel)