5.5 Rang einer Matrix

Grundbegriff zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Gegeben sei eine (m,n)-Matrix, die als Kombination ihrer nSpaltenvektoren dargestellt wird:

$$\pmatrix{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr \cdots & \cdots & \cd... ...r a_{m1}} , \cdots , \pmatrix{ a_{1n} \cr \cdots \cr a_{mn}},$$

oder kurz:

$$\qquad A \qquad \longrightarrow \qquad \vec{a}_1, \quad \cdots \; , \quad \vec{a}_n$$

Definition 5.5   Unter dem Rang einer Matrix A versteht man die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren, die A bilden. Schreibweise:   $\mbox{rang~} A \;\;(\, \in I\!\!N)$

Mit rangerhaltenden Umformungen wird die folgende Struktur erzeugt:

$$B = \pmatrix{ b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} & b_{1,r+1} ... ...& \cdots & \cdots \cr 0 & \cdots & & 0 & 0 & \cdots & 0 \cr},$$

wobei $b_{kk} \neq 0, \; k=1,\dots,r$ sei.
Dann gilt:

$$\fboxsep4mm \fbox{$ \displaystyle\mbox{rang~} B = r $}$$

Rangerhaltende Umformungen:

1.

 Multiplikation einer Spalte (Zeile) mit einem Skalar $\lambda \neq 0$

2.

  Vertauschen zweier Spalten (Zeilen)

3.

  Addition einer Spalte (Zeile) zu einer anderen

4.

Kombination der Umformungen 1. bis 3.

Satz 5.6   Die Anwendung der elementaren Umformungen 1., 2., 3. änderen den Rang einer geg. Matrix A nicht.

Bemerkung: Schlußfolgerungen:

• Es gilt $\mbox{rang~} A = \mbox{rang~} A^T$, deshalb können alle Operationen sowohl mit Zeilen als auch mit Spalten ausgeführt werden.
• Falls A eine (m,n)-Matrix ist, so gilt $\mbox{rang~} A \leq \min \{ m, n \}$
• Ist A quadratisch, Dimension (n,n), nichtsingulär, so gilt $\mbox{rang~} A = n$ und umgekehrt.
  In Kurzfassung:
  
  $$\mbox{dim~} A = (n,n), \; \exists A^{-1} \Longleftrightarrow \mbox{rang~} A = n$$
  
  
  Das heißt, es liegt voller Rang vor, d. h. wiederum, alle Zeilen bzw. Spalten sind linear unabhängig.