M eine Teilmenge
Mx 
M.
("Familie heißt, daß für verschiedene Elemente x und y von M
die Mengen Mx und My durchaus gleich sein
dürfen.)
Ein P-System muß die folgenden drei Eigenschaften erfüllen:
Mx für jedes
x M,
My und
y Mx, so folgt x = y,
My und
y Mz, so folgt
x Mz.
Es lassen sich wunderbare Sätze für diese neue Strukturen beweisen! Zuerst benötigen wir einige neue Bezeichnungen:
Zwei Elemente x,y sind P-vergleichbar falls
x My oder
y Mx.
andernfalls P-unvergleichbar.
Eine P-Kette ist eine Menge paarweise P-vergleichbarer
Elemente, eine P-Antikette eine
Menge paarweise P-unvergleichbarer Elemente.
In jedem endlichen (!) P-System
ist die minimale Mächtigkeit einer Partition von M in P-Ketten
gleich der maximalen Mächtigkeit einer P-Antikette.
Kommt Ihnen das alles irgendwie bekannt vor?
Wenn ja, so ist das kein Zufall---obiger Satz ist gerade der
Satz von Dilworth
in grün. Geordnete Mengen sind zwar formal etwas ganz
anderes als P-Systeme, aber inhaltlich "sind" sie dieselben Strukturen.
Dies läßt sich folgendermaßen präzisieren:
Zu jeder geordneten Menge (M,
)
definieren wir Mx = {y M:
y x}
für jedes x M
(die primitiven Ideale).
Offensichtlich ist das dann ein P-System.
Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität von
"" übersetzen sich in obige
Eigenschaften (1), (2) und (3).
Zu jedem P-System
(M,(Mx)x M)
definieren wir eine Relation ""
auf M durch x y falls
x My.
Diese Relation ist (genauso offensichtlich) eine Ordnungsrelation.
D.h. zu jeder geordneten Menge (M,)
gibt es ein P-System mit Menge M, und umgekehrt.
Darüberhinaus ist
die geordnete Menge des P-Systems von (M,)
gleich (M,),
genauso wie das P-System
der geordneten Menge eines P-Systems mit dem Ausgangs-P-System
übereinstimmt.
Es macht also wenig Sinn einen neuen Namen (P-System) einzuführen, denn alles was sich in P-Systemen beweisen läßt, ist auch in geordneten Mengen machbar, und umgekehrt.