Modelle der Sprache
sind etwa auch (N,*,+)....
Dann sind folgendes Terme
x,
y,
Ç x y (d.h. x Ç y),
Ç È x y x,
oder auch
Ç x
Ç y z
È x y.
Atomare Formeln sind sind nur Gleichungen zwischen Termen.
Beispiele für
Aussagen sind die acht Verbandsaxiome:
Die Verbandstheorie wird mit den obigen acht Verbandsaxiomen
definiert. D.h. die Verbände sind gerade die Modelle
der Theorie {A1, A2,
A3, A4, A5, A6,
A7, A8}
(A1)
" x " y
" z
Ç x Ç y z =
Ç Ç x y z,
(A2)
" x " y
" z
È x È y z =
È È x y z,
(A3)
" x " y
Ç x y = Ç y x,
(A4)
" x " y
È x y = È y x,
(A5)
" x " y
Ç x È x y = x,
(A6)
" x " y
È x Ç x y = x,
(A7)
" x Ç x x = x,
(A8)
" x È x x = x.
"£" ist
(M,Ç,È)-definierbar
(tatsächlich definiert)
in jedem Verband, durch
£ x y genau dann wenn
È x y = y.
Also nehmen wir zu obigen acht Verbandsaxiomen noch dieses
"Definitionsaxiom" dazu um die Axiomenmenge für Verbände
(in dieser Sprache) zu erhalten:
(A9)
" x " y
( £ x y «
È x y = y).
Auf der anderen Seite starten wir
mit der Theorie für geordneten Mengen in obiger
erweiterter Sprache. Dazu brauchen wir die üblichen drei Axiome:
(B1)
" x
£ x x (Reflexivität)
(B2)
" x " y
((£ x y Ù
£ y x)
® x = y) (Antisymmetrie)
(B3)
" x " y
" z ((£ x y
Ù £ y z)
® £ x z)
(Transitivität).
Nun müssen wir Existenz von Supremum und Infimum beschreiben.
(B4)
" y " z
$ s
((£ y s Ù
£ z s) Ù
(" x ((£ y x
Ù £ y x)
® £ s x)))
(B5)
" y " z
$ w
((£ w y Ù
£ w z) Ù
(" x ((£ x y
Ù £ x z)
® £ x w)))
Nun fehlen nur noch die "Definitionsaxiome" für
"Ç" und "È":
(B6)
" y " z
((£ y È y z
Ù
£ z È y z)
Ù
(" x ((£ y x
Ù £ z x)
® £
È y z x))),
(B7)
" y " z
((£
Ç y z y Ù
£ Ç y z z)
Ù
(" x ((£ x y
Ù £ x z)
® £ x
Ç y z))).
In dieser erweiterten Sprache sind die beiden Theorien {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9} {B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7} äquivalent.