Es lassen sich wunderbare Sätze für diese neue Strukturen beweisen! Zuerst benötigen wir einige neue Bezeichnungen:
Zwei Elemente x,y sind P-vergleichbar falls x Î My oder y Î Mx. andernfalls P-unvergleichbar. Eine P-Kette ist eine Menge paarweise P-vergleichbarer Elemente, eine P-Antikette eine Menge paarweise P-unvergleichbarer Elemente.
In jedem endlichen (!) P-System
ist die minimale Mächtigkeit einer Partition von M in P-Ketten
gleich der maximalen Mächtigkeit einer P-Antikette.
Kommt Ihnen das alles irgendwie bekannt vor?
Wenn ja, so ist das kein Zufall---obiger Satz ist gerade der
Satz von Dilworth
in grün. Geordnete Mengen sind zwar formal etwas ganz
anderes als P-Systeme, aber inhaltlich "sind" sie dieselben Strukturen.
Dies läßt sich folgendermaßen präzisieren:
Zu jeder geordneten Menge (M,£)
definieren wir Mx = {y Î M:
y £ x}
für jedes x Î M
(die primitiven Ideale).
Offensichtlich ist das dann ein P-System.
Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität von
"£" übersetzen sich in obige
Eigenschaften (1), (2) und (3).
Zu jedem P-System
(M,(Mx)x Î M)
definieren wir eine Relation "£"
auf M durch x £ y falls
x Î My.
Diese Relation ist (genauso offensichtlich) eine Ordnungsrelation.
D.h. zu jeder geordneten Menge (M,£)
gibt es ein P-System mit Menge M, und umgekehrt.
Darüberhinaus ist
die geordnete Menge des P-Systems von (M,£)
gleich (M,£),
genauso wie das P-System
der geordneten Menge eines P-Systems mit dem Ausgangs-P-System
übereinstimmt.
Es macht also wenig Sinn einen neuen Namen (P-System) einzuführen, denn alles was sich in P-Systemen beweisen läßt, ist auch in geordneten Mengen machbar, und umgekehrt.