1.1 Harmonische Schwingungen und trigonom. Reihen

Funktionen lassen sich auf mannigfache Weise transformieren und approximativ darstellen; erinnert sei nur an die aus dem Grundkurs bekannten Taylorreihen, an Interpolationspolynome verschiedener Art u.s.w.

Periodische Funktionen, die etwa mechanische oder elektrische Schwingungen repräsentieren, werden häufig durch eine Überlagerung von Sinus-- und Kosinus--Funktionen ausgedrückt. Um den Bezug zur Zeit als unabhängige Variable herzustellen, bezeichnen wir im folgenden diese i.a. durch das Symbol t. Die Zerlegung einer Funktion in harmonische Schwingungen heißt auch Harmonische Analyse.

Beispiel:

1. ist für beliebiges T periodisch (trivialer Fall)
2. sind für periodisch
3. hat die Periode (Wechselstrom)

Es gelten für periodische Funktionen eine Reihe einfacher Rechenregeln, wir beschränken uns auf einige wichtige Beispiele:

1. Ist T Periode von f, so ist auch , Periode dieser Funktion;
2. Sind f und g T--periodisch, so gilt dies auch für die Linearkombination ;
3. Für T--periodisches f und beliebiges gilt

   

Der Einfachheit halber betrachten wir trigonometrische Polynome (Reihen) mit , d.h. der Periode , genauer. Der allgemeine Fall läßt sich leicht daraus ableiten.

Es gelten Orthogonalitätsrelationen der folgenden Form:
   
Hier ist das bekannte KRONECKER--Symbol; Beweise für die angegebenen Beziehungen findet man durch geschickte Anwendung von Additionstheoremen.

Voraussetzung: Sei eine über dem Intervall definierte Funktion, die in eine trignometrische Reihe entwickelt werden soll, wobei eine gliedweise Integration möglich sei:

Multiplizieren wir diese Beziehung (1.4) der Reihe nach mit

und integrieren über , so können wegen (1.1) die einzelnen Koeffizienten berechnet werden:

Sind gewisse Symmetriebedingungen erfüllt, läßt sich die Reihendarstellung und die Koeffizientenberechnung unter Umständen wesentlich vereinfachen. Lösen Sie hierzu die entsprechenden Übungsaufgaben und lesen Sie in der angegebenen Literatur nach.

Beispiel: Man gebe die Fourier-Reihendarstellung der mit periodischen Funktion

an (sog. Sägezahnkurve).

Lösung: Die gegebene Funktion ist ungerade, folglich gilt für die Koeffizienten Für die Koeffizienten folgt:

Die gesuchte Fourier-Reihe hat nunmehr die Form:

Die folgenden Bilder stellen jeweils die Funktion und eine aus den ersten Reihengliedern erhaltene Näherung dar, wobei das Intervall zugrunde gelegt wurde, um das Verhalten an der Unstetigkeitsstelle deutlicher zu charakterisieren.

Die Abbildungen zeigen gleichzeitig noch die Herausbildung des sog. GIBBSschen Effekts, der in einem Überschwingen der (endlichen) trigonometrischen Reihe an Unstetigkeitsstellen besteht. Mit wachsender Zahl von Gliedern vermindert sich die Höhe der Spitzen wieder. Die folgenden Abbildungen 1.1 verdeutlichen diesen Effekt für eine sog. Quadratwelle.

  
Figure 1.1: Die ersten Harmonischen einer Quadratwelle

Häufig lassen sich mittels der Theorie der Fourier-Reihen bemerkenswerte und praktisch nützliche Reihendarstellungen gewinnen. Wir zeigen dies am Beispiel der Entwicklung von nach der Variablen x. Man setzt die Reihe als gerade Funktion an (nur Kosinus-Glieder):

und errechnet leicht

Im Intervall gilt folglich

Wird nun x=0 gesetzt, so kommt man nach Umstellung zu der Formel

dagegen entsteht für eine Darstellung für

Durch Differentiation und Integration der Reihe (Voraussetzungen ?) lassen sich weitere nützliche Beziehungen ableiten.