Reihen (wie die ebenfalls noch zu behandelnden Fourier--Integrale) können
auch für mehr als eine unabhängige Variable entwickelt werden. Wir deuten
dies nur für Funktionen 
an und benutzen die wegen ihrer kompakten
Form sehr übersichtliche Darstellung in komplexer Schreibweise.
Die Funktion 
sei bzgl. der Intervalle 
periodisch. Wir betrachten 
zunächst nur als Funktion von x
und behandeln y vorläufig als Parameter. Dann gilt
mit den vom Parameter y abhängigen Koeffizienten
Nun werden die Funktionen 
ihrerseits für jedes n in
Fourier--Reihen entwickelt:
Die (zweifach indizierten) Koeffizienten werden wie folgt berechnet:
Damit gilt dann für die (zweidimensionale) Fourier--Reihe in komplexer Darstellung mit den Koeffizienten (1.21)
Eine Umformung in eine Darstellung mit Sinus-- und Kosinus--Gliedern erhält
man auf elementarem Weg über die Eulersche--Identität (1.16).
Figure 1.2: 2D-Fourier-Transformation (links: Original; rechts: Transf.)
