,
)
zu reden.
Wir starten also mit einer Sprache mit
zwei binären Verknüpfungen.
Wir verwenden das Symbol "
" statt dem sonst
verwendeten "", und das Symbol
"
" statt dem sonst verwendeten
""
weil "" und ""
ja als logische Symbole gebraucht werden.
Modelle der Sprache
sind etwa auch (N,*,+)....
Dann sind folgendes Terme
x,
y,
x y (d.h. x y),
x y x,
oder auch
x
y z
x y.
Atomare Formeln sind sind nur Gleichungen zwischen Termen.
Beispiele für
Aussagen sind die acht Verbandsaxiome:
Die Verbandstheorie wird mit den obigen acht Verbandsaxiomen
definiert. D.h. die Verbände sind gerade die Modelle
der Theorie {A1, A2,
A3, A4, A5, A6,
A7, A8}
(A1)
x y
z
x y z =
x y z,
(A2)
x y
z
x y z =
x y z,
(A3)
x y
x y = y x,
(A4)
x y
x y = y x,
(A5)
x y
x x y = x,
(A6)
x y
x x y = x,
(A7)
x x x = x,
(A8)
x x x = x.
" (stehend für eine binäre Relation)
erweitern. Wir arbeiten also im Folgenden mit Strukturen und Sprachen
der Signatur
binäre Relation "",
binäre Verknüpfung "",
binäre Verknüpfung "".
"" ist
(M,,)-definierbar
(tatsächlich definiert)
in jedem Verband, durch
x y genau dann wenn
x y = y.
Also nehmen wir zu obigen acht Verbandsaxiomen noch dieses
"Definitionsaxiom" dazu um die Axiomenmenge für Verbände
(in dieser Sprache) zu erhalten:
(A9)
x y
( x y 
x y = y).
Auf der anderen Seite starten wir
mit der Theorie für geordneten Mengen in obiger
erweiterter Sprache. Dazu brauchen wir die üblichen drei Axiome:
(B1)
x
x x (Reflexivität)
(B2)
x y
(( x y
y x)
x = y) (Antisymmetrie)
(B3)
x y
z (( x y
y z)
x z)
(Transitivität).
Nun müssen wir Existenz von Supremum und Infimum beschreiben.
(B4)
y z
s
(( y s
z s)
( x (( y x
z x)
s x)))
(B5)
y z
w
(( w y
w z)
( x (( x y
x z)
x w)))
Nun fehlen nur noch die "Definitionsaxiome" für
"" und "":
(B6)
y z
(( y y z
z y z)
( x (( y x
z x)
y z x))),
(B7)
y z
((
y z y
y z z)
( x (( x y
x z)
x
y z))).
In dieser erweiterten Sprache sind die beiden Theorien {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9} {B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7} äquivalent.