Definition:
Sei M eine Menge.
Eine Abbildung C: P(M)
® P(M)
heißt Hüllenoperator,
falls für alle X, Y Í M gilt:
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Beispiel 1: Sei V ein Vektorraum. Für A Í V ist C(A) = < A > die Menge aller Linearkombinationen mit Elementen aus A. C ist ein Hüllenoperator.
Beispiel 2: Die transitive Hülle R* einer Relation definiert einen Hüllenoperator.
Beispiel 3: Für jede Abbildung f: A ® B setzen wir C(A1) = f(f-1 (f(A1))) für A1 Í A und C¢(B1) = f-1(f(f -1(B1))) für B1 Í B Dann ist C ein Hüllenoperator auf P(A) und C¢ Hüllenoperator auf P(B).
Beispiel 4: Sei (M, £ ) eine geordnete Menge. Für X Í M ist LOI(X) = {y Î M | $x Î X: y £ x} das von X erzeugte Ideal. Dann ist LOI ein Hüllenoperator auf P(M).
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Beispiel 5:
Für Teilmengen X Í Rn
sei
Conv(X) : = {rx1+¼+ rkxk | k Î N, x1, ¼,xk Î X, 0 £ r1, ¼, rk Î R, r1+¼+rk = 1 } die konvexe Hülle von X. Conv ist auch ein Hüllenoperator. |
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Ist C ein Hüllenoperator auf einer Menge M,
so ist die Menge {C(X)|X Í M}
aller Hüllen bzgl. Í
verbandsgeordnet.
Dabei ist C(X) Ú C(Y) =
C(X È Y) und
C(X) Ù C(Y) =
C(X) Ç C(Y).
Beweis: |
| Eine Teilmenge L Í P(M) der Potenzmenge einer Menge ist ein abgeschlossenes System, falls M Î L ist und jeder Durchschnitt Çi Î I Ai von Elementen aus L wieder in L liegt. |
Für jedes abgeschlossene System
L Í
P(M)
können wir eine Abbildung
C: P(M) ®
P(M)
durch C(S) = ÇS
Í
A Î
L A definieren.
Diese Abbildung ist dann ein Hüllenoperator.
Umgekehrt ist für jeden Hüllenoperator
C: P(M) ®
P(M) die Bildmenge
ein abgeschlossenes System.
Abgeschlossene Systeme "sind" gerade Hüllenoperatoren: